Wenn man eine Formel erstellt, um etwas zu berechnen, ergibt sich oft ein Term, den man noch vereinfachen kann. Dem ursprünglichen Term sieht man zwar deutlicher an, wie er erstellt wurde, mit dem vereinfachten Term lässt sich aber besser rechnen.

Wie oben schon erwähnt: Beim Erstellen einer Formel ergibt sich oft ein unnötig komplizierter Term. Bevor man damit rechnet, möchte man ihn vereinfachen.

Ein Beispiel:

Die Klassenfahrt kostet pauschal 400,- € für den Bus und 60,- € Eintritt ins Museum. Pro Schüler kommen 30,- € für die Übernachtung und 10,- € für die Verpflegung hinzu.

Damit ergibt sich folgende Formel zur Berechnung des Gesamtpreises in Abhängigkeit davon, wie viele Schüler mitfahren (x):

400 + 60 + 30 · x + 10 · x

Dem Term sieht man wunderbar an, wie er entstanden ist. Aber kein Mensch würde damit rechnen. Stattdessen fasst man zunächst die festen Preise einerseits und die Anteile pro Schüler andererseits zusammen:

460 + 40 · x

Nun ist der Term vereinfacht und man kann verschiedene Schülerzahlen einsetzen.

Die wichtigste Regel zur Vereinfachung ist: 

Gleichartige Terme werden zusammengefasst, Terme unterschiedlicher Art bleiben getrennt.

Das bedeutet:

Zahl zu Zahl, x zu x, x² zu x² usw.

aber NICHT: Zahl zu x oder zu x²!

Beispiele:

Vereinfache den Term
2x + 16 + 3 x + 4

Lösung: ..... = 5x + 20  Ende!

Vereinfache den Term
12x – 7x + 4 – 7x – 13

Lösung:  ..... = -2x - 9

Vereinfache den Term
0,5x + 5 – 3,5x² – 7 + 5,5x + 4x²

Lösung: ..... = 0,5x² + 6x – 2

Zahlen gehören zu Zahlen, x zu x, x² zu x². Klar.
Aber es gibt auch verzwicktere Situationen:

x²y ist eine eigene Sorte. xy² ist wieder etwas anderes! Denn beim ersten muss man x quadrieren, beim zweiten y. Das ist nicht dasselbe!

Aber x²y und yx² sind wieder gleich und dürfen zusammen gefasst werden! Denn ob ich zuerst x quadriere und dann mit y malnehme oder andersrum, ist völlig egal.

3x² – 5xy + 2x²y – 4y² + 5yx² = ???

..... = 3x² + 7x²y – 5xy – 4y²

0,2x²y – 0,4xy² + 0,3y²x + 0,1yx² = ???

..... = 0,3 x²y – 0,1 xy²

3 · 2y + 5 · 6 – y · 4 + 2y · 4

Das kann jeder: Hier muss natürlich multipliziert werden:

..... = 6y + 30 – 4y + 8y

Und zum Schluss noch zusammenfassen wie oben gelernt:

..... = 10y + 30

Sollen Variablen multipliziert werden, schreibt man sie als eigenen Variablentyp:

x · y → xy  ;  x² · y → x²y  usw.

Vereinfache:
4 · 2x · 0,5 · y + 3x · 2 · x – y · 10 · 0,5x

Lsg: ..... = 4xy + 6x² – 5xy = 6x² – xy

x · x = x2	das ist klar!
x2 · x = x3	auch noch klar?
x4 · x2 · x3 =	???

Erinnerst du dich an die Potenzgesetze?

Vereinfache:
2 x² · 3 · x³ + 5x · 2 · x³ – 3 · x · 3x⁴

Lsg: ..... = 6x⁵ + 10x⁴ – 9x⁵ = -3x⁵ + 10x⁴

Vereinfache:
4(x²)⁴ – 3x⁵:x³ + 2x⁶ · x^-3 – 5x⁴ · x^-4

Lsg: ..... = 4x⁸ – 3x² + 2x³ – 5x⁰ = 4x⁸ + 2x³ – 3x² – 5

Vereinfache:
(xy³)² + (2x²y²)³ + y · x² · y · y⁴

Lsg: ..... = x²y⁶ + 8x⁶y⁶ + x²y⁶ = 2x²y⁶ + 8x⁶y⁶